常州数学

changzhou

2020-11-30 浏览234次

伟大的革命导师恩格斯说：“数学是研究现实数量关系和空间形式的一门科学。”恩格斯是与马克思齐名的人民革命的导师，但数学为恩格斯的伟大增添了无限的光辉。数学是什么？这是数学家仍不断思索的问题，数学家的语言是朴实的，听一听数学以外的声音吧：音乐家说：“数学是上较和谐的音符。”体育老师说：“数学是锻炼人的思维的体操。”植物学家说：“上没有比数学更美的花朵。”美学家说：“哪里有数学，哪里才有真正的美。”诗人说：“离开了数学的思维，任何一首诗篇都是胡言。”再听一听哲学家的心声吧：“或许你可以不相信上帝，但是你必需相信数学，什么都在变，唯有数学的理论是永恒的。”各民族都有自己的语言，有些语言为多个民族所共用，在地球上，没有一种语言能统一地球，但是，数学语言已成为各民族的共用。

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（1）函数是高考数学的基础，又是，函数较早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。高中函数都要掌握哪些知识点呢?现在马上来了解一下吧!
　　函数
　　一、定义与定义式
　　自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b 则此时称y是x的函数。
　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx (k为常数，k≠0)
　　二、函数的性质
　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k
　　即：y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
　　三、函数的图像及性质
　　1.作法与图形：通过如下3个步骤
　　(1)列表;
　　(2)描点;
　　(3)连线，可以作出函数的图像——一条直线。
　　因此，作函数的图像知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)
　　2.性质：
　　(1)在函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
　　(2)函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
　　3.k，b与函数图像所在象限：
　　当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;
　　当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
　　当b>0时，直线必通过一、二象限;
　　当b=0时，直线通过原点
　　当b<0时，直线必通过三、四象限。
　　特别地，当b=0时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
　　这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
　　四、确定函数的表达式
　　已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的函数的表达式。
　　(1)设函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
　　(2)因为在函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b 和y2=kx2+b
　　(3)解这个二元方程，得到k，b的值。
　　(4)较后得到函数的表达式。
　　五、函数在生活中的应用
　　1.当时间t一定，距离s是速度v的函数。s=vt。
　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
　　六、常用公式：(不，可以在书上找)
　　1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)
　　2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
　　3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
　　4.求任意线段的长：√(x1-x2)2+(y1-y2)2 (注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)
　　二次函数
　　一、定义与定义表达式
　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　y=ax2+bx+c
　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。)
　　则称y为x的二次函数。
　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
　　二、二次函数的三种表达式
　　一般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
　　点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的点P(h，k)]
　　交点式：y=a(x-x?)(x-x?) [于与x轴有交点A(x?，0)和 B(x?，0)的抛物线]
　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
　　h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a
　　三、二次函数的图像
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
　　四、抛物线的性质
　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
　　x= -b/2a。
　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的点P。
　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
　　2.抛物线有一个点P，坐标为
　　P( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )
　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
　　|a|越大，则抛物线的开口越小。
　　4.项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
　　抛物线与y轴交于(0，c)
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
　　Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
　　Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
　　五、二次函数与一元二次方程
　　特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c，
　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，
　　即ax2+bx+c=0
　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
　　1.二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的点坐标及对称轴如下：
　　解析式和点坐标对和对称轴
　　y=ax2 (0，0) x=0
　　y=a(x-h)2 (h，0) x=h
　　y=a(x-h)2+k (h，k) x=h
　　y=ax2+bx+c (-b/2a，[4ac-b2]/4a) x=-b/2a
　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
　　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
　　因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便。
　　2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，点坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a).
　　3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.
　　4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);
　　(2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
　　(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|
　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;
　　当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.
　　5.抛物线y=ax2+bx+c的较值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y较小(大)值=(4ac-b2)/4a.
　　点的横坐标，是取得较值时的自变量值，点的纵坐标，是较值的取值.
　　6.用待定系数法求二次函数的解析式
　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
　　y=ax2+bx+c(a≠0).
　　(2)当题给条件为已知图象的点坐标或对称轴时，可设解析式为点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).
　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).
　　7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点，往往以大题形式出。
　　反比例函数
　　形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
　　反比例函数图像性质：反比例函数的图像为双曲线。
　　由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为|k|。
　　知识点：
　　1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
　　2.对于双曲线y=k/x ，若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)
　　对数函数
　　对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
　　对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
　　(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
　　(2)对数函数的值域为全部实数集合。
　　(3)函数总是通过(1，0)这点。
　　(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
　　(5)显然对数函数无界。
　　指数函数
　　指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得
　　可以得到：
　　(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
　　(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
　　(3) 函数图形都是下凹的。
　　(4) a大于1，则指数函数单调递增;a小于1大于0，则为单调递减的。
　　(5) 可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0)，函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个位置。
　　(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
　　(7) 函数总是通过(0，1)这点。
　　(8) 显然指数函数无界。
　　奇偶性
　　一、定义
　　一般地，对于函数f(x)
　　(1)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
　　(2)如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
　　(3)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
　　(4)如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
　　(分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义
　　二、奇偶函数图像的特征
　　定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表，偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
　　f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
　　点(x,y)→(-x,-y)
　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
　　偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。
　　三、奇偶函数运算
　　1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.
　　2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.
　　3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
　　4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
　　5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
　　6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
　　定义域
　　(高中函数定义)设A,B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x),x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;
　　值域
　　一、名称定义
　　函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。
　　常用的求值域的方法
　　(1)化归法
　　(2)图象法(数形结合)
　　(3)函数单调性法
　　(4)配方法
　　(5)换元法
　　(6)反函数法(逆求法)
　　(7)判别式法
　　(8)复合函数法
　　(9)三角代换法
　　(10)基本不等式法等
　　二、关于函数值域误区
　　定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域”的原则，无可置疑。
　　然而事物均具有二重性，在定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。
　　如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
　　才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
　　三、“范围”与“值域”相同吗?
　　“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
　　“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。
　　也就是说:“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

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